matematika

Jumat, 22 Maret 2019

1. Matriks Baris
    Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A = ( 1   3   4   9)

2. Matriks Kolom
    Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom

4. Matriks Nol
Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo ,ditulis dengan huruf O.

5. Matriks Segi Tiga
Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

6. Matriks Diagonal
Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

7. Matriks Skalar
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Penjumlahan Matriks

Operasi hitung matriks pada penjumlahan memiliki syarat yang harus dipenuhi agar dua buah matriks dapay dijumlahkan. Syarat dari dua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan jika memiliki nilai ordo yang sama. Artinya, semua matriks yang dijumlahkan harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4. Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 tidak bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 4 dan kolom 3. Kesimpulannya, jumlah baris dan kolom antar dua matriks yang akan dijumlahkan harus sama.

Operasi hitung penjumlahan matriks memenuhi sifat komutatif, asosiatif, memiliki matriks identitas matriks nol, dan memiliki lawan matriks. Lawan matriks A adalah matriks $-A$ , di mana elemen-elemen matriks $-A$ merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A. Secara ringkas, sifat operasi penjumlahan matriks dapat dilihat pada gambar di bawah.

Selanjutnya, kita akan mempelajari cara melakukan operasi hitung penjumlahan dua buah matriks. Penjelasan akan diberikan dalam bentuk contoh soal secara umum.

Contoh cara melakukan operasi penjumlahan pada matriks:

Bagaimana penjelasan mengenai penjumlahan matriks, mudah bukan? Sekarang kita akan masuk pada pembahasan selanjutnya yaitu operasi hitung pengurangan matriks. Simak uraian di bawah.

Pengurangan Matriks

Seperti halnya operasi hitung penjumlahan matriks, syarat agar dapat mengurangkan elemen-elemen antar matriks adalah matriks harus memiliki nilai ordo yang sama. Cara melakukan operasi pengurangan pada matriks dapat dilihat seperti cara di bawah.

Cara melakukan operasi pengurangan dua matriks tidak jauh berbeda dengan penjumlahan matriks. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal pengurangan matriks secara umum yang akan diberikan di bawah.

Contoh cara melakukan operasi pengurangan pada matriks:

Perkalian Matriks

Pembahasan operasi hitung matriks selanjutnya yang akan dibahas adalah perkalian matriks. Perkalian matriks yang akan dibahas di bawah adalah perkalian matriks dengan skalar dan perkalian matriks dengan matriks. Selengkapnya simak operasi hitung perkalian matriks di bawah.

Perkalian Matriks dengan Skalar

Cara melakukan operasi skalar pada matriks adalah dengan mengalikan semua elemen-elemen matriks dengan skalarnya. Jika k adalah suatu konstanta dan A adalah matriks, maka cara melakukan operasi perkalian skalar dapat dilihat melalui cara di bawah.

Cara melakukan perkalian matriks dengan skalar cukup mudah dilakukan. Contoh soal cara melakukan perkalian matriks yang akan diberikan di bawah akan menambah pemahaman sobat idschool.

Contoh cara melakukan operasi perkalian skalar pada matriks:

Diketahui konstanta k = 2 dan sebuah matriks A dengan persamaan seperti di bawah.

$\textrm{A} \; = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$

Maka hasil perkalian konstanta k dengan matriks A adalah sebagai berikut.

$k\textrm{A} \; = 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$

$k\textrm{A} \; = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \\ 10 & 12 \\ 14 & 16 \end{bmatrix}$

Minggu, 10 Maret 2019

MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN DENGAN KONSEP OPERASI BILANGAN REAL

I. Macam-Macam Himpunan Bilangan

Matematika erat sekali kaitannya dengan bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan tersebut dapat dibedakan berdasarkan definisi tertentu sehingga bilangan-bilangan tersebut dapat dikelompokkan menjadi suatu himpunan bilangan tertentu pula. Misalnya 1, 2, 3, ... dan seterusnya dapat dikelompokkan ke dalam himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan asli tersebut dapat ditulis dengan notasi A = {1, 2 , 3, 4, 5, ...}.

Himpunan bilangan-bilangan secara skematis dapat ditunjukkan pada bagan berikut.

1. Himpunan Bilangan Asli

Himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan bertambah satu-satu. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.

A = {1, 2, 3, 4, ...}.

2. Himpunan Bilangan Cacah

Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:

C = {0, 1, 2, 3, 4,...}.

3. Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:

B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

4. Himpunan Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p/q , dengan p, q E B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut:

5. Himpunan Bilangan Irasional

Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p/qdengan p, q E B dan q ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola), misalnya: 2, π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.

II. Operasi Hitung pada Bilangan Riil

A. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat

1. Penjumlahan dan Pengurangan

2. Perkalian dan Pembagian

Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan

2. Perkalian dan Pembagian Bilangan Pecahan

III. Perbandingan

Perbandingan dua buah nilai dari besaran yang sejenis dapat dinyatakan sebagai perbandingan atau pecahan biasa . Misal 6 : 7 atau .7/6

Ada dua jenis perbandingan , Yaitu

1. Perbandingan senilai

Perbandingan disebut perbandingan senilai jika dua perbandingan harganya sama

2. Perbandingan berbalik nilai

Perbandingan disebut perbandingan sberbalik nilai jika dua perbandingan hasilnya saling berbalik.

IV. Skala

Skala adalah perbandingan senilai ukuran gambar dengan besar benda sebenarnya.

skala = Jarak pada peta : jarak sebenarnya

Jarak sebenarnya = Jarak pada peta x skala

Jarak pada peta = jarak sebenarnya : skala

V. Persen

Persen adalah bentuk lain dari pecahan dengan penyebut seratus

B. Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan ber-pangkat

Indikator :

1. Bilangan berpangkat dioperasikan sesuai dengan sifat-sifatnya.

2. Bilangan berpangkat disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat

3. Konsep bilangan berpangkat diterapkan dalam penyelesaian masalah.

a. Pengertian Pangkat Bulat Positif

Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka aⁿ (dibaca "a pangkat n") adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk

C. Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan irasional

Indikator :

1. Bilangan bentuk akar dioperasikan sesuai dengan sifat-sifatnya.

2. Bilangan bentuk akar disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar

3. Konsep bilangan irasional diterapkan dalam penyelesaian masalah.

D. Kompetensi Dasar :Menerapkan konsep logaritma

Indikator

1. Operasi logaritma diselesaikan sesuai dengan sifat-sifatnya.

2. Soal-soal logaritma diselesaikan dengan menggunakan tabel dan tanpa tabel

3. Permasalahan program keahlian diselesaikan dengan menggunakan logaritma

Pengertian logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g >0, g≠ 1), maka:

^glog a = x jika hanya jika g^x = a

FUNGSI KUADRAT

A. PENGERTIAN FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang pangkat variabel tertingginya adalah dua.

Bentuk umum fungsi kuadrat :

f(x) = ax²+ bx + c atau y = ax²+ bx + c

dengan a ≠ 0 dan a,b,c R

B. GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Grafik fungsi kuadrat berupa kurva yang berbentuk parabola.

1. Jika a > 0 (a positif) maka parabola/grafiknya terbuka ke atas.

2. Jika a < 0 (a negatif) maka parabola/grafiknya terbuka ke bawah

Istilah – istilah pada fungsi kuadrat :

x ₌d

Dari gambar tersebut diperoleh :

x₁ dan x₂ adalah titik potong kurva dengan sumbu x

· c adalah titik potong kurva dengan sumbu y

· P adalah titik puncak

· x = d adalah sumbu simetri

x₂

x₁

P(x,y)

C. TITIK POTONG TERHADAP SUMBU – SUMBU KOORDINAT

Terdiri atas 2 macam yaitu :

1. Titik potong terhadap sumbu x

Agar grafik fungsi kuadrat y = ax²+ bx + c memotong sumbu x, maka nilai y haruslah sama dengan nol (0). Nilai x yang menyebabkan fungsi y = f(x) = 0 disebut pembuat nol fungsi.

y = 0 → ax²+ bx + c = 0

(x – x₁) (x – x₂) = 0

Koordinat titik potongnya (x₁,0) dan (x_2,0)

2. Titik potong terhadap sumbu y

Agar grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c memotong sumbu y, maka nilai x haruslah sama dengan nol (0).

x = 0 → y = a (0)² + b(0) + c

y = c

koordinat titik potongnya (0,c)

D. TITIK PUNCAK / TITIK BALIK DAN SUMBU SIMETRI

Bentuk y = ax² + bx + c, mempunyai :

* Sumbu simetri (penyebab ekstrim) ialah garis yang membagi parabola secara simetris.

Rumus untuk sumbu simetris :

x = atau x =

* Nilai ekstrim ialah nilai tertinggi (maksimum) atau nilai terendah (minimum) yang dicapai oleh suatu fungsi. Nilai ekstrim maksimum terjadi jika parabola terbuka ke bawah atau jika a < 0 sedangkan nilai ekstrim minimum terjadi jika parabola terbuka ke atas atau jika a > 0 .

Rumus untuk nilai ekstrim :

y =

atau dengan memasukkan nilai sumbu simetri ke persamaan kuadrat.

* Titik puncak parabola

– jika a > 0 atau parabola terbuka ke atas, maka titik puncak adalah titik balik minimum

– jika a < 0 atau parabola terbuka ke bawah, maka titik puncak adalah titik balik maksimum.

Rumus untuk titik puncak :

(x,y) =

E. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Langkah – langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :

Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y
Menentukan persamaan sumbu simetri
Menentukan nilai ekstrim
Menentukan titik puncak
Melukis kurva parabola melalui titik – titik yang telah ditentukan

Contoh 1 :

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² + 2x – 3 !

Jawab :

y = x² + 2x – 3 , maka :

a = 1 , b = 2 , c = – 3

a = 1 → a > 0, maka parabola terbuka ke atas

–1

* Titik potong terhadap sumbu x (pembuat nol fungsi)

–3

Jika y = 0 → x² + 2x – 3 = 0

(x – 1) (x + 3) = 0

x = 1 , x = –3

didapat koordinat titik potong (1,0) dan (–3,0)

* Titik potong terhadap sumbu y

Jika x = 0 → y = 0² + 2.0 – 3

y = –3

–3

didapat koordinat titik potong (0, –3)

* Persamaan sumbu simetri :

(–1, –4)

–4

x = = –1 atau x =

x = –1

* Nilai ekstrim:

y = atau y = (–1)² + 2(–1) –3 =1 – 2 – 3= –4

didapat nilai minimum y = –4

* Titik puncaknya adalah (–1, –4)

2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = –x² + 6x – 5 !

Jawab :

y = –x² +6x – 5 , maka

(3,4)

a = –1, b = 6, c = –5

a = – 1 → a < 0, maka parabola terbuka ke bawah

* Titik potong terhadap sumbu x (pembuat nol fungsi)

Jika y = 0 → –x² + 6x – 5 = 0

(–x +1) (x – 5 ) = 0

–x = –1 , x = 5

x = 1

didapat koordinat titik potong (1,0) dan (5,0)

* Titik potong terhadap sumbu y

Jika x = 0 → y = 0² + 6.0 – 5

y = –5

–5

didapat koordinat titik potong (0, –5)

* Persamaan sumbu simetri :

x = atau x =

x = 3

* Nilai ekstrim:

y = atau y = –(3)²+ 6(3) –5=–9 +18–5 = 4

didapat nilai maksimum y = 4

* Titik puncaknya adalah (3,4)

Menggambar grafik fungsi kuadrat jika diketahui daerah asal (domain) fungsi.

Contoh 2 :

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² + 2x – 3 dengan domain !

Jawab :

y = x² + 2x – 3

D_f =

X	–4	–3	–2	–1	0	1	2
x² 2x –3	16 –8 –3	9 –6 –3	4 –4 –3	1 –2 –3	0 0 –3	1 2 –3	4 4 –3
Y	5	0	–3	–4	–3	0	5
(x,y)	(–4,5)	(–3,0)	(–2,–3)	(–1,–4)	(0, –3)	(1,0)	(2,5)

Didapat R_f =

–1

–3

–4

(–1, –4)

( 3,4 )

2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = –x² + 6x – 5 dengan domain !

Jawab :

–x²

–5

–1

–5

–4

–5

–9

–5

–16

–5

–25

–5

–36

–5

(x,y)

(0, –5)

(1,0)

(2,3)

(3,4)

(4,3)

(5,0)

(6, –5)

Didapat R_f =

–5

LATIHAN 1 :

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat dari persamaan di bawah ini :

a. y = x² + 2x – 24

b. y = –x² + 6x – 9

c. y = 2x² – 11x +14

d. y = 4x – x²

e. y = x² – 2x + 1

2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat dari persamaan di bawah ini dan tentukan wilayah hasil fungsinya !

a. y = x² + 4x – 5 dengan daerah asal

b. y = –x² – 2x + 3 dengan daerah asal

c. y = x² – 1 dengan daerah asal

d. y = x² – 2x + 3 dengan daerah asal

e. y = –x² + 4x + 8 dengan daerah asal

F. KEDUDUKAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT TERHADAP SUMBU X

D = b² – 4ac

Kedudukan grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c terhadap sumbu x secara keseluruhan ada 6 kemungkinan. Keenam kemungkinan kedudukan itu ditentukan oleh tanda – tanda dari “a” (koefisien x²) dan tanda – tanda dari diskriminan

Perhatikan tabel di bawah ini :

Tanda a dan D		Bentuk Kurva	Kurva y = ax²+ bx + c terhadap sumbu x	Jenis titik balik kurva
a > 0 (a positif)	D > 0		Memotong sumbu x di dua titik yang berbeda. x₁≠ x₂	minimum
	D = 0		Menyinggung sumbu x di satu titik. x₁ = x₂	Minimum
	D < 0		Tidak memotong sumbu x (definit positif)	Minimum
a < 0 ( a negatif)	D > 0		Memotong sumbu x di dua titik yang berbeda. x₁≠ x₂	Maksimum
	D = 0		Menyinggung sumbu x di satu titik. x₁ = x₂	Maksimum
	D < 0		Tidak memotong sumbu x (definit negatif)	Maksimum

Contoh 3 :

1. Diketahui fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f(x) = 2x² – 4x – p . Tentukan batas nilai p agar grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan !

Jawab :

f(x) = 2x² – 4x – p → a = 2, b = –4, c = –p

a = 2 → a > 0

syarat agar grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan adalah :

D > 0

b² – 4ac > 0

(–4)² – 4 . 2 . (–p) > 0

16 + 8p > 0

8p > –16

p >

p > –2

2. Diketahui fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f(x) = mx² – 2mx + ( ½ m + 1). Tentukan nilai m agar grafik fungsi f menyinggung sumbu x !

Jawab :

f(x) = mx² – 2mx + ( ½ m + 1) → a = m, b = –2m, c = ½ m + 1

Syarat agar grafik f menyinggung sumbu x adalah:

m > 0 atau m < 0

D = 0

b²– 4ac =0

(–2m)²– 4. m ( ½ m + 1) =0

4m² – 2m² – 4m = 0

2m² – 4m = 0

2m ( m – 2) = 0

2m = 0 m – 2 = 0

m = 0 m = 2

yang memenuhi m = 2, kareana a > 0 atau a < 0.

3. Tentukan nilai p, agar bentuk f(x) = (p – 1)x² – 2px + (p – 2) definit negatif !

Jawab :

f(x) = (p – 1)x² – 2px + (p – 2) → a = (p – 1), b = –2p, c = (p – 2)

Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0

* a < 0 → p – 1 < 0

P < 1

* D < 0 Degan menghubungkan syarat 1 dan syarat 2

b²- 4ac < 0 Lihat gambar di bawah ini :

(–2p)² – 4(p – 1)(p – 2) < 0

4p² – 4(p² – 2p – p + 2) < 0

4p² – 4(p² – 3p + 2) < 0

4p² – 4p² + 12p – 8 < 0

12p – 8 < 0

12p < 8

p < maka nilai p yang memenuhi adalah p <

p <

G. MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT

Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik fungsi kuadratnya dapat dilakukan dengan cara :

1. Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di titik (x₁ ,0) dan (x₂,0) serta melalui sebuah titik tertentu, maka rumusnya :

y = a (x – x₁) (x – x₂)

2. Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak (x_p,y_p) serta melalui sebuah titik tertentu, maka rumusnya :

y = a (x – x_p)² + y_p

3. Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik – titik (x₁,y₁), (x₂,y₂) dan (x₃,y₃), maka rumusnya :

y = ax² + bx + c

Contoh 4 :

(1,6)

Tentukan persamaan fungsi kuadrat pada grafik (parabola) di bawah ini !

–1

1. 2. 3.

–3

–4

–1

(–1, – 4)

Jawab :

1. Grafik memotong sumbu x di titik (–1, 0) dan (4,0) dan melalui titik (0,2)

y = a (x – x₁)(x – x₂) Masukkan nilai a :

2 = a (0 – (–1)) (0 – 4) y = a (x – x₁)(x – x₂)

2 = a (1)(–4) y = –½ (x – (–1)) (x – 4)

2 = – 4 a y = –½ (x + 1) (x – 4)

a = = – y = –½ (x² – 4x + x – 4)

y = –½ (x² – 3x – 4)

y = –½ x² + x + 2

Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah : y = – x² + x + 2

2. Grafik melalui titik puncak ( –1 , –4) dan melalui titik ( –3 ,0)

( –1 ,–4) → x_p= –1 , y_p= –4 masukkan nilai a :

(–3,0) → x = –3 , y = 0 y = a (x – x_p)² + y_p

y = a (x – x_p)² + y_py = 1 ( x – (–1))² + (–4)

0 = a (–3 – (–1))² + (–4) y = 1 ( x + 1)² – 4

0 = a (–3 + 1)² – 4 y = 1 ( x² + 2x + 1) – 4

0 = a (–2)² – 4 y = x² + 2x + 1 – 4

0 = a.4 – 4 y = x²+ 2x – 3

4 = 4a

a = = 1 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah : y = x²+ 2x – 3

3. Grafik melalui titik – titik (0,0), (1,6) dan (4,0)

(0 , 0) → y = ax² + bx + c eliminasi persamaan 2 dan 3

0 = a .0² + b .0 + c a + b = 6 .4 4a + 4b = 24

0 = c ............(1) 16a + 4b = 0 .1 16a + 4b = 0 –

(1,6) → y = ax² + bx + c````````` - 12a = 24

6 = a (1)² + b(1) + c a = – 2

6 = a + b + c substitusi nilai a = –2 ke persamaan 2

6 = a + b + 0 6 = a + b

6 = a + b ……(2) 6 = –2 + b

(4,0) → y = ax² + bx + c 8 = b

0 = a(4)² + b(4) + c substitusi nilai a =–2, b = 8 dan c =0 ke rumus :

0 = 16a + 4b + 0 y = ax² + bx + c

0 = 16a + 4b…..(3) y = –2x²+ 8x + 0

y = –2x² + 8x

Jadi persamaan fungsi kuadrat adalah : y = –2x² + 8x

LATIHAN 2:

1. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat dari kurva di bawah ini !

P (1,3)

a) b). c). d).

P (–2 ,0)

–1

–2

–1

–3

P (1,2)

2. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum 4 yang dicapai pada x = 1. Fungsi kuadrat itu bernilai 0 untuk x = 3. Tentukan persamaan fungsi kuadrat tersebut !

3. Fungsi kuadrat f melalui titik – titik A (0 ,–6) , B (–1, 0) dan C (1,–10)

Tentukanlah :

a). Persamaan fungsi kuadrat tersebut!

b). Titik – titik potongnya dengan sumbu x !

c). Titik puncak / titik balik grafik fungsi f !

LATIHAN FUNGSI KUADRAT

Koordinat titik balik dari fungsi kuadrat f(x) = 4x² – 5x + 1 adalah ........

A. C. E.

B. D.

(UN Thn. 2005/2006)

Grafik dari fungsi f(x) = –x² + 4x – 6 akan simetris terhadap garis ......

A. x = 3 B. x = 2 C. x = –2 D. x = –3 E. x = –4

(EBTANAS Thn. 2000/2001)

Nilai a agar grafik fungsi y = (a – 1)x² – 2ax + (a – 3) selalu berada di bawah sumbu x (definit negatif) adalah .......

A. a = 1 B. a > 1 C. a < 1 D. a > E. a <

(EBTANAS Thn. 2000/2001)

Perhatikan grafik fungsi kuadrat di bawah ini!

Persamaan dari grafik di samping adalah................

A. y = x² –2x + 3

y = –x²– 2x – 2

C. y = –x²+ 3x + 2

–2

y = –x²+ 3x – 2

E. y = x² + 3x – 2

Grafik fungsi y = 4x² – 8x – 21, memotong sumbu x, sumbu y dan mempunyai titik balik P berturut – turut adalah ……

A. x = , x = , y = 21 , P (1,25) D. x = , x = , y = –21 , P (1,–25)

B. x = , x = , y = 21 , P (–1,25) E. x = , x = , y= –21 , P(–1,–25)

C. x = , x = , y = –21 , P (1, –25)

(UN Thn. 2002/2003)

y

y

y

y

Grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x² + 11x – 6 adalah .....

–6

A. B. C. D. E.

–6

Titik balik grafik dari fungsi kuadrat y = –3x² + 6x + 2 adalah ........

A. (–⅓ , 0) B.(2,0) C.(0,2) D. (5,1) E. (1,5)

Sumbu simetri parabola y = kx² + (k – 1)x + 1 adalah x = 3. Nilai k adalah ......

(-2,4)

A. B. C. 0 D. E.

Persamaan dari grafik fungsi kuadrat di samping adalah.......

A. y = x² – 4 D. y = –x² – 4x

B. y = x² – 4x E. y = x² + 4x

–4

C. y = –x² + 4

P(1 , 2)

10. Persamaan fungsi kuadrat yang sesuai dengan gambar grafik di samping adalah ……..

A. y = –2x² + x D. y = 2x² + x

B. y = ½ x² – x E. y = x² – 2 x

C. y = –2x² + 4x

(UN Thn 2004/2005)

Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (2,1) dan melalui titik (4,5) persamaannya adalah ……

A. y = x² – 2x +1 C. y = x² + 2x – 7 E. y = x² – 4x +5

B. y = x² +4x +5 D. y = x² – 4x –5

(EBTANAS Thn. 1996/1997)

Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –2x² + 4x + 3 dengan daerah asal . Daerah hasil fungsi f adalah ……….

A. C. E.

B. D.

(EBTANAS Thn 1997/1998)

Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah ……

A. y = x² – 2x +1 C. y = x² +2x –1 E. y = x² +2x +3

B. y = x² – 2x +3 D. y = x² +2x +1

(UMPTN Thn 1996)

Grafik fungsi kuadrat yang persamaannya adalah y = 6 + px – 5x² memotong sumbu x. Salah satu titik potongnya adalah (–2,0), maka p samadengan ……….

A. –13 B. –7 C. 6 D. 7 E.13

(EBTANAS Thn 1991/1992)

Sebuah peluru ditembakkan vertikal dengan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t². Tinggi maksimum peluru adalah..............

A. 925 m C. 1.025 m E. 1.225 m

B. 1.015 m D. 1.125 m

matematika

INFO SMK ISTANA MULIA

Jumat, 22 Maret 2019

Penjumlahan Matriks

Pengurangan Matriks

Perkalian Matriks

Minggu, 10 Maret 2019

Laporkan Penyalahgunaan