matematika

FUNGSI KUADRAT

A. PENGERTIAN FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang pangkat variabel tertingginya adalah dua.

Bentuk umum fungsi kuadrat :

f(x) = ax²+ bx + c atau y = ax²+ bx + c

dengan a ≠ 0 dan a,b,c R

B. GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Grafik fungsi kuadrat berupa kurva yang berbentuk parabola.

1. Jika a > 0 (a positif) maka parabola/grafiknya terbuka ke atas.

2. Jika a < 0 (a negatif) maka parabola/grafiknya terbuka ke bawah

Istilah – istilah pada fungsi kuadrat :

x ₌d

Dari gambar tersebut diperoleh :

x₁ dan x₂ adalah titik potong kurva dengan sumbu x

· c adalah titik potong kurva dengan sumbu y

· P adalah titik puncak

· x = d adalah sumbu simetri

x₂

x₁

P(x,y)

C. TITIK POTONG TERHADAP SUMBU – SUMBU KOORDINAT

Terdiri atas 2 macam yaitu :

1. Titik potong terhadap sumbu x

Agar grafik fungsi kuadrat y = ax²+ bx + c memotong sumbu x, maka nilai y haruslah sama dengan nol (0). Nilai x yang menyebabkan fungsi y = f(x) = 0 disebut pembuat nol fungsi.

y = 0 → ax²+ bx + c = 0

(x – x₁) (x – x₂) = 0

Koordinat titik potongnya (x₁,0) dan (x_2,0)

2. Titik potong terhadap sumbu y

Agar grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c memotong sumbu y, maka nilai x haruslah sama dengan nol (0).

x = 0 → y = a (0)² + b(0) + c

y = c

koordinat titik potongnya (0,c)

D. TITIK PUNCAK / TITIK BALIK DAN SUMBU SIMETRI

Bentuk y = ax² + bx + c, mempunyai :

* Sumbu simetri (penyebab ekstrim) ialah garis yang membagi parabola secara simetris.

Rumus untuk sumbu simetris :

x = atau x =

* Nilai ekstrim ialah nilai tertinggi (maksimum) atau nilai terendah (minimum) yang dicapai oleh suatu fungsi. Nilai ekstrim maksimum terjadi jika parabola terbuka ke bawah atau jika a < 0 sedangkan nilai ekstrim minimum terjadi jika parabola terbuka ke atas atau jika a > 0 .

Rumus untuk nilai ekstrim :

y =

atau dengan memasukkan nilai sumbu simetri ke persamaan kuadrat.

* Titik puncak parabola

– jika a > 0 atau parabola terbuka ke atas, maka titik puncak adalah titik balik minimum

– jika a < 0 atau parabola terbuka ke bawah, maka titik puncak adalah titik balik maksimum.

Rumus untuk titik puncak :

(x,y) =

E. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Langkah – langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :

Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y
Menentukan persamaan sumbu simetri
Menentukan nilai ekstrim
Menentukan titik puncak
Melukis kurva parabola melalui titik – titik yang telah ditentukan

Contoh 1 :

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² + 2x – 3 !

Jawab :

y = x² + 2x – 3 , maka :

a = 1 , b = 2 , c = – 3

a = 1 → a > 0, maka parabola terbuka ke atas

–1

* Titik potong terhadap sumbu x (pembuat nol fungsi)

–3

Jika y = 0 → x² + 2x – 3 = 0

(x – 1) (x + 3) = 0

x = 1 , x = –3

didapat koordinat titik potong (1,0) dan (–3,0)

* Titik potong terhadap sumbu y

Jika x = 0 → y = 0² + 2.0 – 3

y = –3

–3

didapat koordinat titik potong (0, –3)

* Persamaan sumbu simetri :

(–1, –4)

–4

x = = –1 atau x =

x = –1

* Nilai ekstrim:

y = atau y = (–1)² + 2(–1) –3 =1 – 2 – 3= –4

didapat nilai minimum y = –4

* Titik puncaknya adalah (–1, –4)

2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = –x² + 6x – 5 !

Jawab :

y = –x² +6x – 5 , maka

(3,4)

a = –1, b = 6, c = –5

a = – 1 → a < 0, maka parabola terbuka ke bawah

* Titik potong terhadap sumbu x (pembuat nol fungsi)

Jika y = 0 → –x² + 6x – 5 = 0

(–x +1) (x – 5 ) = 0

–x = –1 , x = 5

x = 1

didapat koordinat titik potong (1,0) dan (5,0)

* Titik potong terhadap sumbu y

Jika x = 0 → y = 0² + 6.0 – 5

y = –5

–5

didapat koordinat titik potong (0, –5)

* Persamaan sumbu simetri :

x = atau x =

x = 3

* Nilai ekstrim:

y = atau y = –(3)²+ 6(3) –5=–9 +18–5 = 4

didapat nilai maksimum y = 4

* Titik puncaknya adalah (3,4)

Menggambar grafik fungsi kuadrat jika diketahui daerah asal (domain) fungsi.

Contoh 2 :

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² + 2x – 3 dengan domain !

Jawab :

y = x² + 2x – 3

D_f =

X	–4	–3	–2	–1	0	1	2
x² 2x –3	16 –8 –3	9 –6 –3	4 –4 –3	1 –2 –3	0 0 –3	1 2 –3	4 4 –3
Y	5	0	–3	–4	–3	0	5
(x,y)	(–4,5)	(–3,0)	(–2,–3)	(–1,–4)	(0, –3)	(1,0)	(2,5)

Didapat R_f =

–1

–3

–4

(–1, –4)

( 3,4 )

2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = –x² + 6x – 5 dengan domain !

Jawab :

–x²

–5

–1

–5

–4

–5

–9

–5

–16

–5

–25

–5

–36

–5

(x,y)

(0, –5)

(1,0)

(2,3)

(3,4)

(4,3)

(5,0)

(6, –5)

Didapat R_f =

–5

LATIHAN 1 :

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat dari persamaan di bawah ini :

a. y = x² + 2x – 24

b. y = –x² + 6x – 9

c. y = 2x² – 11x +14

d. y = 4x – x²

e. y = x² – 2x + 1

2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat dari persamaan di bawah ini dan tentukan wilayah hasil fungsinya !

a. y = x² + 4x – 5 dengan daerah asal

b. y = –x² – 2x + 3 dengan daerah asal

c. y = x² – 1 dengan daerah asal

d. y = x² – 2x + 3 dengan daerah asal

e. y = –x² + 4x + 8 dengan daerah asal

F. KEDUDUKAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT TERHADAP SUMBU X

D = b² – 4ac

Kedudukan grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c terhadap sumbu x secara keseluruhan ada 6 kemungkinan. Keenam kemungkinan kedudukan itu ditentukan oleh tanda – tanda dari “a” (koefisien x²) dan tanda – tanda dari diskriminan

Perhatikan tabel di bawah ini :

Tanda a dan D		Bentuk Kurva	Kurva y = ax²+ bx + c terhadap sumbu x	Jenis titik balik kurva
a > 0 (a positif)	D > 0		Memotong sumbu x di dua titik yang berbeda. x₁≠ x₂	minimum
	D = 0		Menyinggung sumbu x di satu titik. x₁ = x₂	Minimum
	D < 0		Tidak memotong sumbu x (definit positif)	Minimum
a < 0 ( a negatif)	D > 0		Memotong sumbu x di dua titik yang berbeda. x₁≠ x₂	Maksimum
	D = 0		Menyinggung sumbu x di satu titik. x₁ = x₂	Maksimum
	D < 0		Tidak memotong sumbu x (definit negatif)	Maksimum

Contoh 3 :

1. Diketahui fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f(x) = 2x² – 4x – p . Tentukan batas nilai p agar grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan !

Jawab :

f(x) = 2x² – 4x – p → a = 2, b = –4, c = –p

a = 2 → a > 0

syarat agar grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan adalah :

D > 0

b² – 4ac > 0

(–4)² – 4 . 2 . (–p) > 0

16 + 8p > 0

8p > –16

p >

p > –2

2. Diketahui fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f(x) = mx² – 2mx + ( ½ m + 1). Tentukan nilai m agar grafik fungsi f menyinggung sumbu x !

Jawab :

f(x) = mx² – 2mx + ( ½ m + 1) → a = m, b = –2m, c = ½ m + 1

Syarat agar grafik f menyinggung sumbu x adalah:

m > 0 atau m < 0

D = 0

b²– 4ac =0

(–2m)²– 4. m ( ½ m + 1) =0

4m² – 2m² – 4m = 0

2m² – 4m = 0

2m ( m – 2) = 0

2m = 0 m – 2 = 0

m = 0 m = 2

yang memenuhi m = 2, kareana a > 0 atau a < 0.

3. Tentukan nilai p, agar bentuk f(x) = (p – 1)x² – 2px + (p – 2) definit negatif !

Jawab :

f(x) = (p – 1)x² – 2px + (p – 2) → a = (p – 1), b = –2p, c = (p – 2)

Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0

* a < 0 → p – 1 < 0

P < 1

* D < 0 Degan menghubungkan syarat 1 dan syarat 2

b²- 4ac < 0 Lihat gambar di bawah ini :

(–2p)² – 4(p – 1)(p – 2) < 0

4p² – 4(p² – 2p – p + 2) < 0

4p² – 4(p² – 3p + 2) < 0

4p² – 4p² + 12p – 8 < 0

12p – 8 < 0

12p < 8

p < maka nilai p yang memenuhi adalah p <

p <

G. MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT

Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik fungsi kuadratnya dapat dilakukan dengan cara :

1. Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di titik (x₁ ,0) dan (x₂,0) serta melalui sebuah titik tertentu, maka rumusnya :

y = a (x – x₁) (x – x₂)

2. Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak (x_p,y_p) serta melalui sebuah titik tertentu, maka rumusnya :

y = a (x – x_p)² + y_p

3. Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik – titik (x₁,y₁), (x₂,y₂) dan (x₃,y₃), maka rumusnya :

y = ax² + bx + c

Contoh 4 :

(1,6)

Tentukan persamaan fungsi kuadrat pada grafik (parabola) di bawah ini !

–1

1. 2. 3.

–3

–4

–1

(–1, – 4)

Jawab :

1. Grafik memotong sumbu x di titik (–1, 0) dan (4,0) dan melalui titik (0,2)

y = a (x – x₁)(x – x₂) Masukkan nilai a :

2 = a (0 – (–1)) (0 – 4) y = a (x – x₁)(x – x₂)

2 = a (1)(–4) y = –½ (x – (–1)) (x – 4)

2 = – 4 a y = –½ (x + 1) (x – 4)

a = = – y = –½ (x² – 4x + x – 4)

y = –½ (x² – 3x – 4)

y = –½ x² + x + 2

Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah : y = – x² + x + 2

2. Grafik melalui titik puncak ( –1 , –4) dan melalui titik ( –3 ,0)

( –1 ,–4) → x_p= –1 , y_p= –4 masukkan nilai a :

(–3,0) → x = –3 , y = 0 y = a (x – x_p)² + y_p

y = a (x – x_p)² + y_py = 1 ( x – (–1))² + (–4)

0 = a (–3 – (–1))² + (–4) y = 1 ( x + 1)² – 4

0 = a (–3 + 1)² – 4 y = 1 ( x² + 2x + 1) – 4

0 = a (–2)² – 4 y = x² + 2x + 1 – 4

0 = a.4 – 4 y = x²+ 2x – 3

4 = 4a

a = = 1 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah : y = x²+ 2x – 3

3. Grafik melalui titik – titik (0,0), (1,6) dan (4,0)

(0 , 0) → y = ax² + bx + c eliminasi persamaan 2 dan 3

0 = a .0² + b .0 + c a + b = 6 .4 4a + 4b = 24

0 = c ............(1) 16a + 4b = 0 .1 16a + 4b = 0 –

(1,6) → y = ax² + bx + c````````` - 12a = 24

6 = a (1)² + b(1) + c a = – 2

6 = a + b + c substitusi nilai a = –2 ke persamaan 2

6 = a + b + 0 6 = a + b

6 = a + b ……(2) 6 = –2 + b

(4,0) → y = ax² + bx + c 8 = b

0 = a(4)² + b(4) + c substitusi nilai a =–2, b = 8 dan c =0 ke rumus :

0 = 16a + 4b + 0 y = ax² + bx + c

0 = 16a + 4b…..(3) y = –2x²+ 8x + 0

y = –2x² + 8x

Jadi persamaan fungsi kuadrat adalah : y = –2x² + 8x

LATIHAN 2:

1. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat dari kurva di bawah ini !

P (1,3)

a) b). c). d).

P (–2 ,0)

–1

–2

–1

–3

P (1,2)

2. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum 4 yang dicapai pada x = 1. Fungsi kuadrat itu bernilai 0 untuk x = 3. Tentukan persamaan fungsi kuadrat tersebut !

3. Fungsi kuadrat f melalui titik – titik A (0 ,–6) , B (–1, 0) dan C (1,–10)

Tentukanlah :

a). Persamaan fungsi kuadrat tersebut!

b). Titik – titik potongnya dengan sumbu x !

c). Titik puncak / titik balik grafik fungsi f !

LATIHAN FUNGSI KUADRAT

Koordinat titik balik dari fungsi kuadrat f(x) = 4x² – 5x + 1 adalah ........

A. C. E.

B. D.

(UN Thn. 2005/2006)

Grafik dari fungsi f(x) = –x² + 4x – 6 akan simetris terhadap garis ......

A. x = 3 B. x = 2 C. x = –2 D. x = –3 E. x = –4

(EBTANAS Thn. 2000/2001)

Nilai a agar grafik fungsi y = (a – 1)x² – 2ax + (a – 3) selalu berada di bawah sumbu x (definit negatif) adalah .......

A. a = 1 B. a > 1 C. a < 1 D. a > E. a <

(EBTANAS Thn. 2000/2001)

Perhatikan grafik fungsi kuadrat di bawah ini!

Persamaan dari grafik di samping adalah................

A. y = x² –2x + 3

y = –x²– 2x – 2

C. y = –x²+ 3x + 2

–2

y = –x²+ 3x – 2

E. y = x² + 3x – 2

Grafik fungsi y = 4x² – 8x – 21, memotong sumbu x, sumbu y dan mempunyai titik balik P berturut – turut adalah ……

A. x = , x = , y = 21 , P (1,25) D. x = , x = , y = –21 , P (1,–25)

B. x = , x = , y = 21 , P (–1,25) E. x = , x = , y= –21 , P(–1,–25)

C. x = , x = , y = –21 , P (1, –25)

(UN Thn. 2002/2003)

y

y

y

y

Grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x² + 11x – 6 adalah .....

–6

A. B. C. D. E.

–6

Titik balik grafik dari fungsi kuadrat y = –3x² + 6x + 2 adalah ........

A. (–⅓ , 0) B.(2,0) C.(0,2) D. (5,1) E. (1,5)

Sumbu simetri parabola y = kx² + (k – 1)x + 1 adalah x = 3. Nilai k adalah ......

(-2,4)

A. B. C. 0 D. E.

Persamaan dari grafik fungsi kuadrat di samping adalah.......

A. y = x² – 4 D. y = –x² – 4x

B. y = x² – 4x E. y = x² + 4x

–4

C. y = –x² + 4

P(1 , 2)

10. Persamaan fungsi kuadrat yang sesuai dengan gambar grafik di samping adalah ……..

A. y = –2x² + x D. y = 2x² + x

B. y = ½ x² – x E. y = x² – 2 x

C. y = –2x² + 4x

(UN Thn 2004/2005)

Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (2,1) dan melalui titik (4,5) persamaannya adalah ……

A. y = x² – 2x +1 C. y = x² + 2x – 7 E. y = x² – 4x +5

B. y = x² +4x +5 D. y = x² – 4x –5

(EBTANAS Thn. 1996/1997)

Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –2x² + 4x + 3 dengan daerah asal . Daerah hasil fungsi f adalah ……….

A. C. E.

B. D.

(EBTANAS Thn 1997/1998)

Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah ……

A. y = x² – 2x +1 C. y = x² +2x –1 E. y = x² +2x +3

B. y = x² – 2x +3 D. y = x² +2x +1

(UMPTN Thn 1996)

Grafik fungsi kuadrat yang persamaannya adalah y = 6 + px – 5x² memotong sumbu x. Salah satu titik potongnya adalah (–2,0), maka p samadengan ……….

A. –13 B. –7 C. 6 D. 7 E.13

(EBTANAS Thn 1991/1992)

Sebuah peluru ditembakkan vertikal dengan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t². Tinggi maksimum peluru adalah..............

A. 925 m C. 1.025 m E. 1.225 m

B. 1.015 m D. 1.125 m

matematika

INFO SMK ISTANA MULIA

Minggu, 10 Maret 2019

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Laporkan Penyalahgunaan